Die zentrale Frage einer Geldanlage ist, ob das investierte Kapital eine hinreichende Verzinsung erbringt. Zu Beginn einer Investition fällt in der Regel eine Anfangsauszahlung an. Während der Laufzeit der Investition werden dann zu unterschiedlichsten Terminen Einzahlungen generiert oder weitere Auszahlungen fällig. Die Investition kann somit über die Laufzeit der Geldanlage eine komplexe Zahlungsreihe ergeben. Anhand dieser Zahlungsreihe ist dann zu beurteilen, ob es sich um eine vorteilhafte Investition handelt.

Die Berechnung des internen Zinssatzes (= interner Zinsfuß) komplexer Zahlungsreihen erfordert ohne EDV-Unterstützung nicht nur einen immensen Rechenaufwand, sondern es bedarf hierzu auch besonderer finanzmathematischer Kenntnisse. Professionelle finanzmathematische Software zur Lösung solcher Aufgabenstellungen ist kostspielig und erfordert zunächst das Studium umfangreicher Handbücher. Finanzmathematische Standardfunktionen von Tabellenkalkulationsprogrammen oder Online-Rechner liefern oftmals nur Näherungslösungen für die konkrete Aufgabenstellung.

Die Excel-Anwendung ieff Professional ermöglicht unter der Voraussetzung mathematischer Lösbarkeit die Berechnung des internen Zinssatzes beliebiger Zahlungsreihen, die aus bis zu 221 Zahlungen bestehen. Die Berechnung erfolgt mittels linearer Interpolation durch Eingabe von Näherungswerten und sukzessives Herantasten an den Zielwert. In der Zelle "Vergleichsrechnung mit Excel-Funktion XINTZINSFUSS" wird ggf. ein Ausgangswert für die lineare Interpolation vorgeschlagen. Darüber hinaus werden die Macaulay-Duration, die modifizierte Duration sowie die Konvexität auf Basis der ISMA-Rendite berechnet.

Folgende Varianten der Effektivzinsberechnung können mit ieff Professional angewandt werden:

• Berechnung der Effektivverzinsung nach ISMA mit den Zinsberechnungsmethoden 30/360, act./365,25 und act./365.
• Berechnung der Effektivverzinsung nach Moosmüller mit den Zinsberechnungsmethoden 30/360, act./365,25 und act./365.
• Berechnung der Effektivverzinsung ohne unterjährigen Zinseszinseffekt mit den Zinsberechnungsmethoden 30/360, act./365,25 und act./365.

Der Zinsberechnungsmethode 30/360 liegt hier die Variante 30U/360 zugrunde. 

Die Moosmüller-Methode liefert nur unter der Bedingung valide Ergebnisse, dass alle nach der ersten Einzahlung stattfindenden Zahlungsperioden (die sog. Subperioden) gleich lang sind. Bei der Moosmüller-Methode ist zudem zwischen der Moosmüller-Periodenrendite und der Moosmüller-Jahresrendite zu unterscheiden. Die Moosmüller-Periodenrendite ist eine periodenkonforme unterjährige Rendite (Subperioden-Rendite) in Bezug auf die Länge der stattfindenden Zahlungsperioden und wird in die Moosmüller-Jahresrendite umgerechnet. Gebrochene Kuponperioden werden bei der Moosmüller-Methode linear abgezinst.

Bei der Effektivzinsberechnung ohne unterjährigen Zinseszinseffekt werden Periodenzahlungen mit Restlaufzeiten unter einem Jahr linear abgezinst. Die Effektivverzinsung ohne unterjährigen Zinseszinseffekt ist somit die Rendite bei gemischter Verzinsung.

Die genaue Funktionalität von ieff Professional soll anhand des folgenden Beispiels beschrieben werden:

Am 17.10.2010 erwirbt ein Investor einen GmbH-Anteil für 31.449,61 €. Am 15.03.2011 werden an ihn anteilige Gewinne i.H.v. 3.200,00 € ausgeschüttet. Weitere Ausschüttungen erfolgen am 12.12.2014 i.H.v. 7.020,00 € sowie am 01.03.2015 i.H.v. 9.193,33 €. Am 19.10.2016 werden aufgrund einer vertraglichen Nachschusspflicht 6.800,16 € zur Zahlung durch den Investor fällig. Am 30.12.2017 werden 9.520,00 € und am 18.07.2018 werden 8.773,32 € ausgeschüttet. Letztmalig erfolgt am 15.09.2021 im Rahmen der Liquidation der GmbH eine Zahlung i.H.v. 14.026,66 €.

Die entsprechende Zahlungsreihe ist mit dem jeweils zugehörigen Datum in ieff Professional einzugeben:

Datum              |         Zahlungsreihe

17.10.2010                  -31.449,61

15.03.2011                  +3.200,00

12.12.2014                  +7.020,00

01.03.2015                  +9.193,33

19.10.2016                  -6.800,16

30.12.2017                  +9.520,00

18.07.2018                  +8.773,32

15.09.2021                 +14.026,66

Anschließend kann jeweils mit den drei Tools

"Berechnung der Effektivverzinsung nach ISMA"

"Berechnung der Effektivverzinsung nach Moosmüller"

"Berechnung der Effektivverzinsung ohne unterjährigen Zinseszinseffekt"

die Berechnung des jeweiligen internen Zinssatzes vorgenommen werden.

In der Zelle "Geschätzter interner Zinssatz 1" wird ein Prozentsatz eingegebenen, der zu einem "Barwert 1" führt. Dieser muss geringfügig über dem "Barwert 3" liegen. Der "Barwert 3" ist die Anfangsauszahlung. Nach der ersten Eingabe eines geschätzten Prozentsatzes in der Zelle "Geschätzter interner Zinssatz 1" sieht man in der Zelle "Barwert 1" einen Wert, der entweder über oder unter dem "Barwert 3" liegt. Man muss dann durch weitere Eingabe von Schätzwerten in die Zelle "Geschätzter interner Zinssatz 1" versuchen, sich sehr nahe von oben an den "Barwert 3" heranzutasten. Ist dies gelungen, ist ein weiterer geschätzter interner Zinssatz in die Zelle "Geschätzter interner Zinssatz 2" einzutragen. Der sich dann ergebende "Barwert 2" muss sich dem "Barwert 3" von unten nähern. Auch hier ist ein entsprechendes Herantasten - wie oben beschrieben - erforderlich. Wenn man nun in den Zellen "Geschätzter interner Zinssatz 1" und "Geschätzter interner Zinssatz 2" Zinssätze eingegeben hat, deren Barwerte nahe um den Betrag der Anfangsauszahlung liegen, wird in der Zelle "Tatsächlicher interner Zinssatz" der gesuchte interne Zinssatz der Investition angezeigt.

Die Lösung des vorgenannten Beispiels mit ieff Professional stellt sich wie folgt dar:

Anstelle einer automatischen Berechnung des internen Zinssatzes wurde die manuell durchführbare lineare Interpolation gewählt, um beispielsweise bei etwaiger Existenz mehrerer Lösungen selbst einen als geeignet erscheinenden Zielwert abprüfen zu können.

Der Nutzer von ieff Professional muss sich darüber im Klaren sein, dass dem Programm die interne Zinsfußmethode zugrunde liegt und dass dieses Verfahren aus mathematischen Gründen in bestimmten Sonderfällen gar keine oder keine eindeutigen Lösungen liefert. Eine Investitionsentscheidung darf daher niemals ausschließlich auf der Grundlage von Berechnungen getroffen werden, die mit diesem Programm erfolgen.

Bei Investitionsentscheidungen ist zu beachten, dass die interne Zinsfußmethode in bestimmten Sonderfällen aus mathematischen Gründen keine oder keine eindeutigen Lösungen liefert. Obgleich die interne Zinsfußmethode zu den wichtigsten Verfahren der dynamischen Investitionsrechnung zählt und gegenüber anderen Verfahren wesentliche Vorteile aufweist, liegt die Problematik darin, dass eine Gleichung n-ten Grades mit n = Zahl der Nutzungsperioden zu lösen ist.

Der Grad n der zu lösenden Gleichung hängt von der Investitionsdauer ab. Eine allgemeine Lösung durch eine immer gültige Lösungsformel ist aber nur für Gleichungen bis zum Grade n = 4 möglich. Gleichungen vom Grade n > 4 sind, von Spezialfällen abgesehen, nicht mehr allgemein lösbar. Der interne Zinssatz ist jedoch für n ≥ 4 in der Regel näherungsweise über lineare Interpolation ermittelbar und nur für bestimmte Einzahlungs-/Auszahlungsreihen nicht eindeutig oder gar nicht bestimmbar.

Nachfolgend werden zwei Beispiele dargestellt, bei denen die Methode des internen Zinssatzes aufgrund mathematischer Besonderheiten versagt:

Beispiel 1:

Am 02.01.2020 wird eine Anfangsauszahlung i.H.v. 10.000 € getätigt. Am 02.01.2021 wird eine Einzahlung i.H.v. 22.000 € erzielt und am 02.01.2022 fällt letztmalig eine Auszahlung i.H.v. 12.101 € an. Die Zahlungsreihe lautet folglich:

t(0) = - 10.000 €

t(1) = + 22.000 €

t(2) = - 12.101 €

Das rechnerische Ergebnis der Effektivverzinsung ieff ergibt sich wie folgt:

-10.000 + 22.000 * (1/q^1) - 12.101 * (1/q^2) = 0

Die Lösung dieser Gleichung liegt im imaginären Bereich (Wurzel aus einer negativen Zahl), ein interner Zinssatz kann folglich nicht berechnet werden.

Beispiel 2:

Am 02.01.2020 wird eine Anfangsauszahlung i.H.v. 10.000 € getätigt. Am 02.01.2021 wird eine Einzahlung i.H.v. 22.000 € erzielt und am 02.01.2022 fällt letztmalig eine Auszahlung i.H.v. 12.091 € an. Die Zahlungsreihe lautet folglich:

t(0) = - 10.000 €

t(1) = + 22.000 €

t(2) = - 12.091 €

Das rechnerische Ergebnis der Effektivverzinsung ieff ergibt sich wie folgt:

-10.000 + 22.000 * (1/q^1) - 12.091 * (1/q^2) = 0

q = 1 + ieff

q = 1,1 ± (1,21 - 1,2091)^(1/2)

q(1) = 1,13

q(2) = 1,07

Die Lösung dieser Gleichung liefert also zwei interne Zinssätze, nämlich 13% und 7%. Die kaufmännische Logik lässt jedoch bei Betrachtung dieser Zahlungsreihe unmittelbar den Schluss zu, dass die beiden mathematisch errechneten Ergebnisse zu einer Fehlinterpretation der Zahlungsreihe führen würden, da die Investition eindeutig unvorteilhaft ist.

Die Bestimmung des internen Zinssatzes heißt, den Schnittpunkt jener Kurve, die die Abhängigkeit des Kapitalwertes vom Zinssatz beschreibt, mit der Abszisse zu ermitteln. Je nach dem Verlauf dieser Kapitalwertkurve ist es nun möglich, dass kein Schnittpunkt, ein Schnittpunkt oder auch zwei oder mehrere Schnittpunkte und demnach keine, eine, zwei oder mehr Renditen existieren. Zur richtigen Entscheidung führt die interne Zinsfußmethode i.d.R. nur dann, wenn die Kapitalwertkurve wie folgt verläuft: Der Kapitalwert nimmt bei zunehmendem Zinssatz stets ab und erreicht genau einmal den Wert Null. Es existiert dann nur ein interner Zinssatz. Investitionen mit dieser Eigenschaft stellen den Regelfall dar, so dass die interne Zinsfußmethode zumeist anwendbar ist. Man muss sich allerdings darüber im Klaren sein, dass es bestimmte Zahlungskonstellationen gibt, bei denen die interne Zinsfußmethode versagt.

Für etwaige Schäden, die aus der Nutzung von ieff Professional entstehen, wird jegliche Haftung ausgeschlossen. Der Erwerber von ieff Professional erklärt ausdrücklich, dass ihm der Haftungsausschluss bekannt ist und dass er auf Schadensersatzforderungen bzw. auf die gerichtliche Geltendmachung von Schadensersatzansprüchen verzichtet. Der Erwerber erklärt weiterhin, dass er die vorangegangenen Ausführungen gelesen und verstanden hat. Ihm ist folglich bekannt, dass das Programm in bestimmten Fällen aufgrund mathematischer Restriktionen versagen kann. Nochmals wird darauf hingewiesen, dass die dem Programm zugrunde liegende interne Zinsfußmethode aus den dargelegten Gründen niemals alleinige Grundlage für Investitionsentscheidungen sein darf.

Die Anwendung erfordert mindestens Excel 2013.

Bestellungen von ieff Professional bitte ich an folgende E-Mail-Adresse zu richten:

ieff-professional@freenet.de

Der Kaufpreis beträgt 25,00 €. Die Kontonummer, auf die der Betrag von 25,00 € zu überweisen ist, wird Ihnen nach Eingang Ihrer Bestellung mitgeteilt. Der Name des Programmnutzers wird unlöschbar in die Anwendung eingefügt. Ich stelle Ihnen das Programm gern vor Kaufpreiszahlung zur Verfügung. Sollte es nicht Ihren Erwartungen entsprechen, bitte ich Sie, dieses nicht mehr zu nutzen und zu löschen. Die Weitergabe des Programms ohne meine ausdrückliche schriftliche Zustimmung ist nicht gestattet.

Zusätzlich kann von finanzmathematisch interessierten Nutzern eine 168 Seiten umfassende Verfahrensdokumentation zusammen mit einer entsperrten Datei der Excel-Anwendung erworben werden, bei der alle im Hintergrund laufenden Formeln sichtbar sind. Zum Lieferumfang gehört ferner ein 19 Seiten umfassendes Script "Effektivverzinsung (Rendite) von festverzinslichen Wertpapieren", das die finanzmathematischen Hintergründe der Excel-Anwendung erläutert (Gliederung: 1. Grundlagen; 2. EDV-gestützte Effektivzinsberechnung; 3. Effektivverzinsung nach ISMA; 4. Effektivverzinsung nach Moosmüller; 5. Effektivverzinsung ohne unterjährigen Zinseszinseffekt; 6. Rechenbeispiel). Der Kaufpreis beträgt 250,00 €.

Außerdem erhältlich ist eine kommentierte Sammlung von 44 Beispielaufgaben, die überwiegend der Fachliteratur entnommen sind und mit denen die professionelle Anwendung des Programms geübt und finanzmathematische Kenntnisse vertieft werden können. Zum Lieferumfang gehört ferner das 19 Seiten umfassendes Script "Effektivverzinsung (Rendite) von festverzinslichen Wertpapieren", das die finanzmathematischen Hintergründe der Excel-Anwendung erläutert (Gliederung: 1. Grundlagen; 2. EDV-gestützte Effektivzinsberechnung; 3. Effektivverzinsung nach ISMA; 4. Effektivverzinsung nach Moosmüller; 5. Effektivverzinsung ohne unterjährigen Zinseszinseffekt; 6. Rechenbeispiel). Der Kaufpreis beträgt 10,00 €.

Die Qualitätssicherung des Programms erfolgte unter anderem anhand der vorgenannten 44, zum Teil komplexen, Beispielaufgaben aus der Fachliteratur zur Finanzmathematik, die mit ieff Professional exakt gelöst werden konnten.

Bei Interesse kann ferner ein 73 Seiten umfassendes Script zum Thema "Duration" mit zahlreichen Beispielaufgaben erworben werden (Gliederung: 1. Grundlagen; 2. Duration nach Macaulay; 3. Wertänderung einer Anleihe in Abhängigkeit von der Zinsänderung; 4. Immunisierung; 5. Modifizierte Duration; 6. Macaulay-Duration und modifizierte Duration von Zerobonds; 7. Macaulay-Duration und modifizierte Duration von Perpetuals; 8. Portfolioduration und modifizierte Portfolioduration; 9. Konvexität; 10. Taylor-Reihenentwicklung; 11. Näherungsformeln zur Berechnung der modifizierten Duration und der Konvexität). Der Kaufpreis beträgt 10,00 €.

Außerdem kann bei Interesse ein 22 Seiten umfassendes Script zum Thema "Kurs verzinslicher Wertpapiere" mit zahlreichen Beispielaufgaben erworben werden (Gliederung: 1. Grundlagen; 2. Kurs einer endfälligen Anleihe ohne gebrochene Kuponperiode; 3. Kurs einer endfälligen Anleihe mit unterjährigen Kuponzahlungen; 4. Kurs einer endfälligen Anleihe mit gebrochener Kuponperiode; 5. Kurs eines Zerobonds; 6. Kurs einer ewigen Rente). Der Kaufpreis beträgt 5,00 €.

Ansgar Ostermann

Diplom-Kaufmann